Алексей Грибов начал сниматься в кино с 1935 года. Первую известность ему принесла роль отца невесты в экранизации водевиля А.П. Чехова «Свадьба» (1944). Фразы его героя ушли в народ:
— Ай да мужчина! Настоящий Вальтер Скотт!
— За что тебя будет любить муж твой? За красоту? За характер? За эмблему чувств? Нет! Он будет любить тебя за приданое твое!
В 1950-е годы Грибов сыграл главные роли в картинах «Спортивная честь» «Смелые люди», «Верные друзья», «Гуттаперчевый мальчик». Одной из самых известных работ актера стала роль капитана судна в комедии «Полосатый рейс».
Позже актер продолжал регулярно сниматься, играя небольшие роли. Его можно было видеть в картинах «Первый троллейбус», «Семь нянек», «Донская повесть», «Начальник Чукотки», «Зигзаг удачи», «Любовь Яровая», «За всё в ответе» и др.
Много лет он озвучивал мультфильмы на студии «Союзмультфильм».
